符号敲着比较费时 我尽量用语言表达清楚吧

如果有不清的地方 可以再讨论

第一题：那个表达式应该是Z=f(rcosθ,rsinθ)吧

这个可以先把r看作变量 ，对r求偏导数

就有了你画横线的式子的第一个等号成立

然后由z在极坐标下只和θ有关，故z对r求偏导数为0

这就有了你画横线式子的第二个等号成立

你的对r为常数的理解是正确的，r是极半径，和向量（x，y）的半径是对应的，只不过在这里是恒量罢了，不能说和r无关

第二题：其实两个问题可以一块理解

以x z 为自变量，y为因变量，可得z=z(x,y(x,z))

这个式子其实是关于xz的一个表达式，其中y是关于x z的一个复合函数，我们知道对自变量之间求偏导，是恒为零的 也就是说以

x z为自变量，则z对x求偏导数是为零的，x对z也是同样的

这样的话 你最后画横线的那个式子为0 就显然了