“垂直两个直线的向量，一定经过他们的投影在一个面上的交点”

这句话是错的，因为向量的起点可以是任意的，也就是说，向量具有平移不变性，所以说向量过某一点是没有意义的。

正确方法：利用两条直线相交的条件。

设出所求直线的方向u（X，Y，Z）,

利用直线l1,(x)=(y/2)=(z/3)过点M(0,0,0)且方向为u1（1,2,3）

从而由相交知向量MA,u，u1共面，即他们坐标排成的行列式为零。

再利用直线(x-1)/2 =(y-2)/1 =(z-3)/4过点N(1,2,3)

且方向为u2（2,1,4）,由相交得向量NA,u，u2共面，即即他们坐标排成的行列式为零，

利用上面两个行列式为零得出关于X,Y,Z的两个线性方程组，

解出一个特解即为所求直线的一个方向。